线性代数的本质
1.矩阵本质
在有一定线性代数基础之后，我们知道下式：
是一个比较常见的矩阵。但实际上它存在着更加本质的含义。首先，我们从列的角度来看，第一列为：
而第二列为：
这两个实际上是整个二维空间的基向量 i 和 j，即span(i,j)为整个二维空间 。在二维空间中的任意坐标均可用 i 和 j 线性表示出来。如二维空间点B：
可以由 基 i 和 j 唯一线性表示：
注：因为上述的A矩阵是一个非奇异矩阵，因此按找列分解得到的两个基向量是线性无关的。但如果A矩阵是一个奇异矩阵，那么按列得到的基便是线性相关的，这使得两个线性相关的基得到的span从二维空间坍缩为一条直线，从而二维空间中直线外的点无法用这组基线性表示。
上面提到的这个A矩阵比较简单，但实际上，无论对多么复杂的非奇异A矩阵来说，都可以得到上面的结论。如:
同理：
同样我们可以得到B的唯一线性表示为：
对于2维矩阵我们得到上述结论，但实际上对于3维，甚至n维的矩阵都有以上结论：n个线性无关列向量构成的基能够span成n维空间。
2.线性变化
在实际的操作中，我们发现线性变换实际上是对原始矩阵左乘一个变换矩阵来实现。那其中是什么道理呢？
首先我们假设原始矩阵为:
变换矩阵为：
那么，按照线性代数中O经过T的线性变换后变成了：
按照1部分中的矩阵基理论，经过T变换后， 矩阵基从原来的
变成了现在的：
所以，线性变换实际上空间到空间的映射，而其本质即是通过基变化反映。而空间中任何一点在映射前后相对于基的表示是不变的。
注：这里记变换前空间为A（以基本坐标轴为基），变换后空间为B，如果在A空间中的坐标为[1,2]^T,则只需要将该点坐标左乘B的基构成矩阵的逆，即可得到该点在B中的坐标表示。反之，只需要乘改矩阵的逆即可反求。
3.行列式
行列式的出现实际上是为了刻画向量从【1,0】和【0,1】变成当前基的有向缩放倍数。如行列式：
实际上是i =【3,0】与j =【2,2】向量为边形成的平行四边形面积相对于原始正方形面积的比值。我们发现，在有些时候行列式的值为负。那这是什么原因呢？这主要是空间翻转引起的。在原始状态下，两组基为i = 【1,0】，j=【0,1】，将 i 拉升3倍变成【3,0】 将 j 变成【2，2】不存在空间的翻转，若反之将 i 变成【2,2】将 j 变成【3,0】则出现空间翻转（考虑从原始基到当下基的变化过程，如同纸片的翻转），则行列式值取负。
例：用一句话说明$det(M1M2)=det(M1)det(M2)$成立。
答: 对原始1*1的正方形做两次面积缩放倍率结果必然是相同的。
注：以上为了简化问题，讨论的都是二维的情况，实际对n维都是成立的。
